ジョジョ・プッチ神父でお馴染みのアレ――“落ち着いて素数を数えたいとき”に便利な「素数を漏れなくリストアップできる方法」が紀元前の数学者に発見されてた件
素数。それは、自然数のうち自身と1でしか割り切ることのできない数のこと。素数は出現する際の法則性の無さから、はるか昔から数学者たちを悩ませてきました。
例えば素数を書き出してみると……
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47……
いきなり偶数の2ではじまったかと思えば、3,5,7と奇数が続きます。次の奇数は9ですが、9は3で割り切れてしまうため素数ではありません。1～10までと、10～20まで間の素数は4つなのに、20～30までの間の素数は2つしかありません。
このように素数の出現には一見法則性があるようですが、全貌は明らかになっていません。大きな数字になれば、それが素数か確かめること（素因数分解）は困難になるため、現代ではその性質が暗号理論にも用いられています。
ところで、みなさんはそんな素数を、複雑な数式を使わなくても、直感的にリストアップすることができる方法を御存知でしょうか？ 本記事ではredoさんがniconicoに投稿した動画「素数アニメーション Part １」より「エラトステネスの篩（ふるい）」という方法をご紹介します。
まず1周が「2」の棒を想像してください。そこに1から順に数字を巻き付けていきます。すると、こんな感じになります。
数を次々に棒に記入したところで「2の下に並ぶ数を塗りつぶし」ます。すると、「2の倍数」を塗りつぶしたことになります。2の倍数は2で割り切れるので当然、素数ではありません。つまり塗りつぶしたところは素数ではないことがわかる、という仕組みです。
次に、この塗りつぶした数の列を「1周が3の棒」に巻き直してみます。画面に映っている範囲では「6」「8」は2の倍数なのですでに塗りつぶされていますね。
こうして、「1周が3の棒」にどんどん巻き付けていくと、こんな感じになります。そして、塗りつぶされていない3の下に並んでいる数を塗りつぶします。これで「3の倍数」が塗りつぶされました。3の倍数は3で割り切れるので、これまた当然素数ではありませんね。
3の次の4は「1周が2の棒」の時点ですでに塗りつぶされています。一応、「1周が4の棒」に数の列を巻き直してみます。次に巻きつける棒は「1周3の棒」の次ですから「1周が4の棒」です。
そろそろ、この方法に気づいてきた読者の方もいらっしゃると思いますが、次はこの数の列を「1周が5の棒」に巻き付けます。これまでと同様、どんどん巻き付けていきます。
またまた、5の下に並んでいる数を塗りつぶします。これで「5の倍数」が塗りつぶされました。5の倍数は5で割り切れるので、これまた当然素数ではありませんね。
さて「1周が5の棒」の次は……そう「1周が6の棒」、ここは数学らしく「六角柱」と言いましょうか。6は「一周が2の棒」の時点で塗りつぶされています。そして6の下に並んでいる6の倍数もすでに塗りつぶされています。
次は「七角柱」に、これまでの数の列を巻き付けていきます。そして、7の下に並んだ「7の倍数」を塗りつぶします。
8,9,10はもう塗りつぶされていますね。ということで、次は「十一角柱」に巻きつけられた数の列を見てみましょう。
この十一角形を回転させれば、「13」が素数になることがわかります。
こうして素数が明らかになるたびに、下の列を塗りつぶし、角の数を増やして巻きつける。これを繰り返せば複雑な数式を解かなくても素数をひとつずつ明らかにしていくことができます。
この方法を使えば、素数の出現する法則はわからないものの、素数を漏れなくリストアップすることができます。
「エラトステネスの篩」の方法が発見されたのは2000年以上前の紀元前200年頃。なんと紀元前に発見されたこの方法は現在でも暗号理論に応用されています。プッチ神父のように、“落ち着いて素数を数える”状況に直面したら、みなさんも「エラトステネスの篩」を活用されてみてはいかがでしょうか？
動画視聴者の反応
このアニメーションを作ったのが凄い
ああ28年間生きてきて初めてしっくりきた
これはわかりやすい
言われてみれば当然のことだなw
▼解説をノーカットで視聴したい方はコチラ▼
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